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模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式三角形面积 底 高2从这个公式我们可以发现三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大小，三角形面积也就越大小 ；如果三角形的高不变，底越大小，三角形面积也就越大小 ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 ，则三角形面积与原来13的一样．这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12sabbas2s1dcba③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ；acbds△ △反之，如果 ，则可知直线 平行于 ．acdbs△ △④等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三角形等高模型与鸟头模型【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成⑴ 3 个面积相等的三角形；⑵ 4 个面积相等的三角形；⑶6 个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，d、e 是 bc 的三等分点，f、g 分别是对应线段的中点，答案不唯一cedbafcdbagd cba⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考⑴⑴⑴⑴⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考【例 2】 如图，bd 长 12 厘米， dc 长 4 厘米，b、c 和 d 在同一条直线上。⑴ 求三角形 abc 的面积是三角形 abd 面积的多少倍⑵ 求三角形 abd 的面积是三角形 adc 面积的多少倍【解析】 因为三角形 abd、三角形 abc 和三角形 adc 在分别以 bd、bc 和 dc 为底时，它们的高都是从 a点向 bc 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是三角形 abd 的面积 高 高126三角形 abc 的面积 高 高4（ ） 8三角形 adc 的面积 高 高所以，三角形 abc 的面积是三角形 abd 面积的 倍；43三角形 abd 的面积是三角形 adc 面积的 3 倍。【例 3】 如右图， 和 都是矩形， 的长是 厘米， 的长是 厘米，那么图中阴影部分的面abfecdab4bc3积是 平方厘米。a bcde f【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形 面积的一半，即 平方厘米。abcd4326【巩固】2009 年四中小升初入学测试题如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。cdba【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 平方厘米。502【巩固】如下图，长方形 和长方形 拼成了长方形 ，长方形 的长是 20，宽是 12，afebdceabcdab则它内部阴影部分的面积是 。f ed cba【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 。120【例 4】 如图，长方形 的面积是 平方厘米，点 、 、 分别是长方形 边上的中点， 为ab56efgabcdh边上的任意一点，求阴影部分的面积。hgfedcbahgfedcba【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接 、 。h∵ ，ae∴ ．bes△ △同理， ， ，fhcs△ △ sghdv∴ 平方厘米．1156282abd阴 影 长 方 形【巩固】图中的 、 、 分别是正方形 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 ，那么阴影部eabc12分的面积是 。edgcfba654 3 21hab f cgde【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的 个边就都被分成了相等的三段。把 和这些分点以及正h方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 个形状各不相同的三角形。这 个三角形的底边分别是99在正方形的 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了 个三角形，3 3右边三角形的面积和第 第 个三角形相等中间三角形的面积和第 第 个三角形相等；左边三角12 34形的面积和第 个第 个三角形相等。56因此这 个阴影三角形的面积分别是 、 和 的三分之一，因此全部阴影的总面积就3abhcd等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是 ，阴影部分的面积就是 。1448【例 5】 长方形 的面积为 36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面abcd2cmefgha积是多少hgfedcba【解析】 解法一寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图bhchgfedcba可得 、 、 ，而12ehbabs12fhbs12dhgcs 36abdhbchdss即 ；368fdgac而 ， 。ehbhebf阴 影 114.528ef所以阴影部分的面积是 184.5s阴 影解法二特殊点法。找 的特殊点，把 点与 点重合，hd那么图形就可变成右图gab cdefh这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有def。11136363.5222abcdebsss阴 影【例 6】 长方形 的面积为 36， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是ghad多少hgfedcbahgfedcbahgfedcba【解析】 （法 1）特殊点法。由于 为 边上任意一点，找 的特殊点，把 点与 点重合（如左上图） ，hadha那么阴影部分的面积就是 与 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形eg面积的 和 ，所以阴影部分面积为长方形 面积的 ，为 。acd814acd1384613.58（法 2）寻找可利用的条件，连接 、 ，如右上图。b可得 、 、 ，而 ，ehbabs12fhcs12dhgcsabdhbchdss即 ；368fdgab而 ， 。ehbhef阴 影 11364.528bef所以阴影部分的面积是 。184.5s阴 影【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 内任取一点 ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，acp分别与 点连接,求阴影部分面积。ppdcbaab cdppdcba【解析】 （法 1）特殊点法。由于 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 点与 点重合，则阴a影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 和 ，所以阴影部146分的面积为 平方厘米。21654（法 2）连接 、 。pac
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